常见的概率分布函数

介绍拉普拉斯分布和高斯分布

拉普拉斯分布（LaplaceDistribution）

期望：$\mu$

方差：$2\lambda^2$

概率密度函数

$$f(x\mid \mu,\lambda)=\frac{1}{2\lambda}e^{ -\frac{\mid x-\mu \mid} {\lambda} }$$

其中$\mu,\lambda$为常数，$\mu$被称为位置参数，$\lambda$被称为尺度参数。

累计分布函数

$$F(x)=Pr[X\leq x]=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{2}\exp(\frac{x-\mu}{\lambda})&\,&x<\mu&\\ 1-\frac{1}{2}\exp(\frac{\mu-x}{\lambda})&\,&x\geq \mu& \end{aligned} \right.$$
拉普拉斯分布累计分布函数

高斯分布

高斯分布又叫正态分布。若随机变量为$\mu$、方差为$\sigma^2$的正态分布，记为$N(\mu,\sigma^2)$。

概率密度函数

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

其中$\mu,\sigma$为常数，$\mu$被称为位置参数，$\sigma$被称为尺度参数。

当$\mu=0,\sigma=1$时，正态分布就是标准正态分布。

高斯分布概率密度函数

累计分布函数

高斯分布累计分布函数

Laplace VS Gaussian

拉普拉斯分布对比高斯分布